一発逆転のある学校、ない学校

　平素の模試で、若干、合格可能性が低くても、一発逆転して合格する事例がある程度ある学校と、ほとんど無い学校があります。「下克上」の有無と言っても良いでしょう。別の見方をすると、合格者の点数がある程度広い幅にばらける学校と、狭い幅にぎゅっと固まっている学校（ということは、一発逆転が起こりにくくなりますよね）の違いなのかもしれません。「一発逆転して合格する事例がある学校＝天才型、ほとんど無い学校＝努力・積み上げ型」とも言われるようですが、微妙な違いが存在しているように聞きました。

　一発逆転して合格する事例がある学校は、通常の各種模試で測られるような学力以外の部分を見て下さっているのか、偏差値ではわからない何かを見いだしている（例えば、キラッと閃いている部分を大きく評価して下さっている）のか、それが校風なのかよくわかりません。
　ただ、一発逆転のある学校は、仮に合不合判定テストで「チャレンジ校」とされていても、のびのび受けてみようという気持ちになるでしょうし、逆に「合格圏」とされた場合でも、安閑としていられない、いつ追っ手が来てひっくり返されるかわからないという気分になると思います。
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「複合型」の難問（その２）

　前回の考え方ですが、（２）は、高さが８列とし、たて９×横１５の長方形が上面にできていると考えると、わかりやすいです。このとき９と１５の最大公約数が３。それで割ると、実は、たて３×横５の長方形が９枚集まった形だとわかります。そして、このときの元の長方形たて９×横１５の対角線は、この小さな長方形（たて３×横５）の頂点部分を２回通過します。つまり、辺を通り過ぎるたびに新たな正方形を横切るというルールの例外になるわけで、「２本の辺をまとめて通過する場合は、横切る正方形の数を１減じる」としなければなりません。というわけで、これを立体にして高さが８になった場合も、２面が交差している部分を通過する２回分を減じて、
　１＋（８－１）＋（９－１）＋（１５－１）－２　＝　２８個
となります。

（３）は、これをさらに応用しています。出題にある、穴のあく数を少なくするということは、出来上がる直方体をできるだけ立方体に近づけること、そして上記（２）のように、公約数を利用して、途中で２面が交差している部分を通過させるということなのです。
　そこで、１６０個を素数の掛け算で表すと、　２×２×２×２×２×５。まず考えられるのが　４×８×５。最大公約数４で、途中で２面が交差している部分を、４－１＝３回通過しますので、針がつらぬく個数は、
　１＋（４－１）＋（８－１）＋（５－１）－３　＝　１２個　これはＯＫ。
次に、４×４×１０　が考えられますが、これは、２×２×５　を、合計８個積んだ形と同じです。つまり、２×２×５でつらぬく個数の２倍をつらぬきますね。かつ、２×２のところは最大公約数２。そこで、
　１＋（２－１）＋（２－１）＋（５－１）－１＝　６個。　その倍で１２個。この場合もＯＫです。これ以外には、１２個を満たす場合がないということで、この２通りが正解になっていました。最初のルールを見つけ、最大公約数を絡めらてさらにルールを発展させ、それをもう一度応用する・・・・・どれくらいの方がこの問題をできたのかなと、今でも感じるところです。
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「複合型」の難問 ～空間の問題と数の性質の問題～

　前回前々回の「空間」問題には、まだ先がありました。「穴あけ・針通し」の空間感覚だけでも苦しんだのに、これに、数の性質（公約数）を絡めた複合問題が後ろについていました。「応用力」って、ここまで高度なんだと、さらに深いため息をついたので、よく覚えています。前々回に書いた例題に（２）と（３）として出題されたその問題は、こういう内容でした。

　＜＜　問題　＞＞
（２）１０８０個の立方体を８列×９列×１５列に積み上げた直方体を針でつらぬくと、全部で何個の立方体に穴が開きますか。
（３）１６０個の立方体を積み上げて直方体を作ります。ある形に積み上げて針でつらぬくと、穴があく立方体を最少で１２個にすることができます。このときの直方体のたて・横・高さは、どうなりますか。

　（３）は、例えば、２列×８列×７列　と　８列×７列×２列　は、同じとカウントするのですが、それでも、解答には２通りの場合がありました。穴のあく数を少なくするというのは、出来上がる直方体をできるだけ立方体に近づけるということ、途中で頂点部分を通過させるということなのですが、辺の長さの決め方に、「数の性質」の分野が登場してくるのです。
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「空間の感覚」（その２）

　前回の例題ですが、実際には、このように説明しました。まず、上から見た平面と考えて、同じ大きさの正方形がたてに７列、横に８列並んで長方形になっているとき、対角線に線を引くと、何個の正方形を横切るか、という問題を考えました。
　すると、一方の頂点からまず線を引き出したときに、最初の正方形を横切り（１個目）、そのあと、正方形のたての辺、横の辺を通り過ぎるたびに、新たな正方形を横切ります。正方形を７×８に敷き詰めたときのたての辺と横の辺のうち、周囲を除いた本数は、それぞれ６本（７－１）、７本（８－１）。したがって、横切る正方形の数は、最初の１個目を忘れずにカウントして、

　１＋６＋７　＝　１４個

　この理屈を、立体化・３次元化すると、一方の頂点からまず線を引き出したときに、最初の立方体を横切り（１個目）、そのあと、立方体のたての面、横の面、底の面を通り過ぎるたびに、新たな立方体に突入するということになります。そこで、立方体を７×８×５に積み上げたときのたて・横・底の面のうち、周囲を除いた面の数（直方体の内側にある面の数）は、それぞれ６面（７－１）、７面（８－１）、４面（５－１）。したがって、横切る立方体の数は、最初の１個目を忘れずにカウントして、

　１＋６＋７＋４　＝　１８個

　平面の時の規則性に気づくかどうか、そして、平面の時の「辺」を「面」に置き換えて３次元で発想ができるかどうかが、ポイントのようですが、でも、小学６年生で頭の中を「３Ｄ」にするというのは、本当に難しいですね。
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「空間の感覚」をどう養うか

　空間の感覚や立体感覚と呼ばれるものですが、見取図に描きにくい問題を、頭の中でどう描いて、正解にたどり着くかという点が課題です。そして、親にとっては、「これ、わからなかった」と言われたときに、どう口頭で説明するかという点がかなり厄介なテーマでした。
　特に、この時期以降の塾の出題は、正直なところ、親が正解を出すのにも、多少目を白黒しないといけない問題もありましたので、それをわかりやすく説明するのには難儀したのです。

　例えば、次の「直方体を針でつらぬく」というパターンの問題、どのように説明されますか？　小生は、平面図形での類似問題を考えて、それを空間に拡げてゆくという発想で説明をしたのですが・・・・・

　＜＜　例題　＞＞
同じ大きさの立方体を積み上げて、大きな直方体を作ります。たてに７列、横に８列、高さが５列になるように積み上げます（計２８０個の立方体）。このとき、上の面の各頂点をＡＢＣＤ、下の面の各頂点をＥＦＧＨ（注　頂点Ａの下が頂点Ｅ）とし、上の面の頂点Ａから下の面の頂点Ｇまで針でつらぬくと、全部で何個の立方体に穴があきますか。
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