「複合型」の難問（その２）

　前回の考え方ですが、（２）は、高さが８列とし、たて９×横１５の長方形が上面にできていると考えると、わかりやすいです。このとき９と１５の最大公約数が３。それで割ると、実は、たて３×横５の長方形が９枚集まった形だとわかります。そして、このときの元の長方形たて９×横１５の対角線は、この小さな長方形（たて３×横５）の頂点部分を２回通過します。つまり、辺を通り過ぎるたびに新たな正方形を横切るというルールの例外になるわけで、「２本の辺をまとめて通過する場合は、横切る正方形の数を１減じる」としなければなりません。というわけで、これを立体にして高さが８になった場合も、２面が交差している部分を通過する２回分を減じて、
　１＋（８－１）＋（９－１）＋（１５－１）－２　＝　２８個
となります。

（３）は、これをさらに応用しています。出題にある、穴のあく数を少なくするということは、出来上がる直方体をできるだけ立方体に近づけること、そして上記（２）のように、公約数を利用して、途中で２面が交差している部分を通過させるということなのです。
　そこで、１６０個を素数の掛け算で表すと、　２×２×２×２×２×５。まず考えられるのが　４×８×５。最大公約数４で、途中で２面が交差している部分を、４－１＝３回通過しますので、針がつらぬく個数は、
　１＋（４－１）＋（８－１）＋（５－１）－３　＝　１２個　これはＯＫ。
次に、４×４×１０　が考えられますが、これは、２×２×５　を、合計８個積んだ形と同じです。つまり、２×２×５でつらぬく個数の２倍をつらぬきますね。かつ、２×２のところは最大公約数２。そこで、
　１＋（２－１）＋（２－１）＋（５－１）－１＝　６個。　その倍で１２個。この場合もＯＫです。これ以外には、１２個を満たす場合がないということで、この２通りが正解になっていました。最初のルールを見つけ、最大公約数を絡めらてさらにルールを発展させ、それをもう一度応用する・・・・・どれくらいの方がこの問題をできたのかなと、今でも感じるところです。
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