迷路に入り込んでしまったパターン（算数）

　まず、昨日の例題の答え、おわかりですね。（１）が３２通り、（２）が１９２通りです。

　さて、前回の問題のパターンは楽だった愚息ですが、同じ「場合の数」の“分類して計算する”パターンでは、なぜか度々苦しめられました。例えば次の例題は、説明すると「あ、そうか。わかった。」 というのですが、少しするとまた間違ってきて、ちょうど夏前後に、何回も苦しめられました。

【例題】１枚の板に、７か所の穴が開いています。穴には１番から７番の番号がついています。いま、この穴に、ひもを板の下側から上側に、上側から下側へと、交互にすべての穴に通します。ただし、１つの穴にはひもを１回だけ通し、また糸の端にはおもりが結び付けてあって糸は抜けないとしたとき、次の問に答えなさい。
（１）最初は３番の穴を板の下側から上側に通すとした場合、ひもの通し方は全部で何通りありますか。
（２）最初は３番の穴を板の下側から上側に通すことから始め、かつ、６番の穴には下側から上側に通して、続いて７番の穴で上側から下側に通すという条件も満たすようなひもの通し方は全部で何通りありますか。

ひもを板の下側から上側に通すことを「↑」、上側から下側へ通すことを「↓」と書いた場合、全体は「↑↓↑↓↑↓↑」で表せます。
問（１）は、最初の↑は穴３番で１通り。次の↓は残りの穴で６通り。その次の「↑」は５通り・・・となって、１×６×５×４×３×２×１＝７２０通り。これは、いつでもできていました。
引っかかったのが問（２）。（１）同様、「↑↓↑↓↑↓↑」で表したとき、最初の↑は穴３番で１通り。そこで、穴６番穴７番という連続が、どこに来るかといえば、
　①「↑↓↑↓↑↓↑」
　②「↑↓↑↓↑↓↑」の２つに分類されますね（矢印が赤で太線になっている部分です。最初の↑は穴３番で既に決まってますね。）。

①の場合、最初の「↑」と「↑↓」を除いた残りの４つの「↓」「↑」に、穴１・２・４・５番が入るわけですから、４×３×２×１＝２４通り。②の場合も同様に２４通り。答えは①②の合計で４８通りです。

　実は先日、思い出したようにこの問題を解かせてみましたが、ちゃんと解いて理由も説明できました。「何で去年苦しんだんだろうね」と聞けば、「どうしても、糸があちこち頭の中で行き来てこんがらがった」との答え。　どうやら当時は、何故か迷路に入り込んでいたようです。
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